Cultor College


L'Autore
Chris McManus
Chris McManus è professore di Psicologia e di Educazione Medica presso l'University College di Londra. E' autore di "Mano destra, mano sinistra", che ha meritato il Premio Aventis 2003. È membro dell'Associazione Internazionale di Estetica empirica.


Mosaico bizantino cristo pantocratiore

Il Cristo Pantocratore (dal greco pantocrator, "sovrano di tutte le cose") è una raffigurazione di Gesù tipica dell'arte bizantina ed in genere paleocristiana ed anche medievale, soprattutto presente nei mosaici ed affreschi absidali. E' ritratto in atteggiamento maestoso e severo, seduto su un trono, nell'atto di benedire con le tre dita della mano destra, secondo l'uso ortodosso.

Forma tripartita (struttura ABA)
La forma tripartita è la più classica delle forme musicali. Si basa sullo schema A-B-A, in cui al primo tema segue il secondo e quindi la ripresa del primo.
A questa forma si rifà il minuetto, introdotto da Jean-Baptiste Lully maestro di corte di Luigi XIV.

Un esempio di effetto Doppler è la percezione del rumore di un'automobile che passa davanti a noi: il rumore è più acuto quando la vettura si muove verso di noi, mentre è più grave quando si allontana.

L'Alhambra è un complesso palaziale andaluso, a Granada. Etimologicamente, Alhambra in arabo è "al-Hamrā'" (la Rossa), dal momento che il suo nome intero era Qalˁat al-hamrā' (Fortezza rossa).Sotto: piastrella di Alhambra
Piastrelle Alhambra

Maurits Cornelis Escher (1898 –1972) incisore e grafico olandese.
È noto per le sue incisioni su legno, litografie e mezzetinte che presentano costruzioni impossibili, esplorazioni dell'infinito, tassellature del piano e dello spazio e motivi a geometrie connesse che cambiano gradualmente in forme via via differenti.
Escher

Cielo e acqua, MC Escher. 1938

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Immanuel Kant (1724-1804) nato e morto a Konigsberg, nella Prussia orientale, è uno dei filosofi più influenti della storia della filosofia occidentale. I suoi contributi alla metafisica, epistemologia, l'etica e l'estetica hanno avuto un profondo impatto su quasi tutti i movimenti filosofici seguenti.

Ernst Hans Josef Gombrich (Vienna, 30 marzo 1909 – Londra, 3 novembre 2001) è stato uno storico dell'arte austriaco naturalizzato britannico.

Rudolf Arnheim (Berlino, 15 luglio 1904 – Ann Arbor, 9 giugno 2007) è stato uno scrittore, storico dell'arte e psicologo tedesco.

 

 

 

 

 

 

 

Theodor W. Adorno (1903 - 1969) è stato un sociologo tedesco, filosofo e
musicologo. Membro della Scuola di teoria sociale di Francoforte insieme a Max Horkheimer, Herbert Marcuse, Jürgen Habermas e altri.

Barcellona_casa_Mila_GaudìCasa Milà, a Barcellona, uno dei capolavori dell'architetto catalano Antoni Gaudì (1852-1926).

Kouros (plurale kouroi, antico κοῦρος greco) è il termine moderno dato a quelle rappresentazioni di giovani maschi che per primi compaiono nell'età arcaica in Grecia.
Kouros_Grecia
Kroisos Kouros, ca. 530 aC..

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Georg Nees (1926 Norimberga, Germania) è un pioniere della computer art, professore onorario di
informatica presso l'Università di Erlangen, Germania. Nees e i suoi colleghi pionieri Frieder Nake
e A. Michael Noll sono stati definiti i "3N" della Computer Art.

Stuart Alan Kauffman (28 settembre 1939) è un biologo teorico e ricercatore americano. Si occupa principalmente di sistemi complessi e della loro relazione con l'origine della vita sulla Terra. È conosciuto soprattutto per aver teorizzato che la complessità dei sistemi biologici e degli organismi derivi dall'auto organizzazione in dinamiche distanti dall'equilibrio, e non solo dalla selezione naturale darwiniana, come anche per aver proposto i primi modelli di rete booleana.

Ludwig Eduard Boltzmann (1844-1906), fisico austriaco che ha dato contributi pionieristici alla meccanica statistica e termodinamica statistica.

Bernard Berenson, nato Bernhard Valvrojenski (Lituania 1865 – Firenze 1959), storico dell'arte statunitense. Contribuì alla definizione dell'Italia in generale e di Firenze in particolare come culla dell'arte.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Rembrandt autoritrattoRembrandt van Rijn, autoritratto 1659.

van gogh contadina con cappello di pagliaVincent van Gogh, contadino, 1884.

Crocifissione_Scrovegni_GiottoLa Crocifissione, Giotto, Cappella degli Scrovegni, Padova.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Bellini-madonna-con-bimbo_Giovanni_BelliniGiovanni Bellini, Madonna col Bambino (Frizzoni) (1470 - 1475 ca.).
Venezia, Museo Correr.

Madonna col bambino CagnolaAffresco del Cagnola, inizio del 500, chiesa di S.Gaudenzio di Baceno.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I Purum sono un'antica tribù "Kuki" di Manipur. Buchler afferma che "sono forse la società più analizzata dagli antropologi". I loro matrimoni avvenivano solo tra fratelli.
Secondo il censimento del 1931in India, i Purum contavano 145 uomini e 158 donne, tutti praticanti la loro religione ancestrale tribale; nel 1936 sono scesi a 303 persone, ma nel censimento del 1951 erano solo 43 individui.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Robert Hertz (Saint-Cloud, 22 giugno 1881 – 13 aprile 1915) antropologo francese. Allievo di Emile Durkheim, ne seguì la ricerca, concentrandosi sulle rappresentazioni collettive dei gruppi sociali. Purtroppo la sua promettente carriera di studioso fu interrotta dalla morte prematura durante la prima guerra mondiale, all'età di trentatré anni. I suoi appunti per un'opera, mai pubblicata, su Il peccato e l'espiazione nelle società primitive furono poi ripresi e ordinati dall'amico e collega Marcel Mauss.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 



Simmetria e Asimmetria
in Estetica e nell'Arte

di Chris McManus

 

Spesso si afferma, soprattutto da parte di matematici e scienziati, che simmetria e bellezza sono collegate.
Tuttavia filosofi e storici dell'arte generalmente sembrano d'accordo sul fatto che, anche se la simmetria è davvero gradevole, in essa vi è anche un po' di sterile rigidità, che può renderla meno attraente piuttosto che meno dinamica. E’ meno prevedibile associare la bellezza all’asimmetria, benchè un po' di asimmetria possa risultare gradevole, mentre un eccesso produce solo risultati caotici.
Come ha suggerito Adorno, probabilmente l'asimmetria  risulta esteticamente più efficace quando traspare ancora la simmetria di fondo su cui è costruita.

Questo documento esamina i modi in cui le asimmetrie, in particolare quella destra-sinistra, sono state
utilizzate dai pittori del Rinascimento italiano. I polittici sovente mostrano asimmetrie occasionali, che più spesso comportano la sostituzione del lato sinistro del viso, dei soggetti dipinti, col destro, piuttosto che viceversa.
E' stata sviluppata un'ipotesi secondo cui la parte destra e sinistra del viso hanno un significato simbolico, con la destra che significa ‘l’io’ e la sinistra il ‘non io’.

Questo principio è valutato in immagini tra cui la Crocifissione, l'Annunciazione e la Madonna col Bambino. Quest'ultima è particolarmente utile perché la percezione teologica della Madonna è cambiata durante il Rinascimento e anche la sua raffigurazione sinistra-destra è cambiata allo stesso tempo in modo comprensibile.
Sono riportati anche alcuni brevi test sperimentali su queste ipotesi. Infine finiamo considerando il motivo per cui la sinistra, piuttosto che la destra, è associata con il 'non io', e pone il risultato nel contesto della ‘duale classificazione simbolica’ destra e sinistra, che è stata descritta per la prima volta dall’antropologo Robert Hertz.

Introduzione

... Simmetrico identifica qualcosa di ben proporzionato, ben equilibrato, e la simmetria denota questo tipo di concordanza di più parti che si integrano in un tutto. La bellezza è legata alla simmetria. (Hermann Weyl (1))

Nel primo paragrafo del suo famoso libro, Simmetria, Hermann Weyl ha trattato il possibile legame tra simmetria e bellezza. (1)
Certo non è difficile vedere come simmetrie di varie forme, siano esse nel mondo naturale o artificiale dell'estetica umana, sono accreditate come bellezza: il riflesso di una montagna in un lago, stelle marine, fiori di molti tipi, un nido d'ape, fiocchi di neve, la simmetria di un volto, la facciata di un cattedrale, un mosaico bizantino del Cristo Pantocratore in una chiesa greca, la lista potrebbe essere infinita. Né la simmetria deve essere visiva o spaziale: musica con la struttura ABA, un dramma con la sua struttura equilibrata di inizio, metà e fine, l'effetto Doppler con il rumore di un treno che si avvicina e si allontana, anche in questo caso la lista potrebbe essere infinita. La simmetria è anche un'evidente caratteristica di design pratico ed efficace, una sedia o un tavolo sono più stabili quando più simmetrico, un orologio è simmetrico, anche le tazze da tè e i piatti hanno le loro simmetrie, e così via.

Simmetria ornamentale o cristallografica

Gli esempi di Weyl tratti dalle arti si concentrano soprattutto su quelle che lui chiama 'simmetrie ornamentali o cristallografiche', con le molteplici variazioni delle piastrelle di Alhambra come esempio fondamentale.
E' stato proprio lo schizzare queste piastrelle, in diverse visite ad Alhambra, la prima nel 1922, che ha ispirato l'opera grafica di MC Escher, forse il più matematicamente sofisticato di tutti gli artisti del XX secolo (2).
Weyl racconta come fu solo nel 1924 che George Polya ha mostrato che ci sono esattamente 17 modi matematicamente diversi di piastrellare o tassellare una superficie. (3)

Tutti i 17 diversi tipi di trame sono stati usati dagli artigiani per realizzare piastrelle o tessitura o decorazioni delle pareti o uno qualsiasi degli altri numerosi modi con cui gli esseri umani coprono i loro oggetti di uso quotidiano con trame di qualche tipo, (4), conferendo quello che Gombrich ha definito 'il senso dell'ordine' (4).
E' interessante notare che, anche se tutti i 17 tipi di trama si possono trovare nell'arte di molte parti del mondo, non sono presenti in tutte le culture (questo perché anche se i modelli fondamentalmente sono matematici, non è chiaro se siano facilmente distinguibili psicologicamente). (6)
Anche se alcuni sostengono che tutti i 17 tipi di trama si possono trovare ad Alhambra, sembra che attualmente siano solo 13. Dei rimanenti quattro tipi si dice che due sono stati trovati altrove nell'arte islamica, (7-8) ma che gli altri due, quelli definiti pg e pgg, non si trovano da nessuna parte nell'arte islamica (anche se gli esempi esistono altrove, per esempio, nell'arte dello Zaire e dei Navajo. (4)

trama_pg Esempi di ornamenti con il gruppo di simmetria pg: (a) ceramiche Nuzi,periodo minoico, (b) Mussian, Elam, intorno al 5000 aC, (c) Hallaf, intorno al 6000 aC (7600-6900 aC?), (D) Eridu cultura, intorno al 4500-4200 aC, (e) Hacilar, circa 5700-5000 aC, (f) cultura Naqda, Egitto, intorno al 3600-3200 aC, (g) zona Adriatica, intorno al 3000-2000 aC, (h) Iran, intorno 5000 aC


Ornamenti con il gruppo di simmetria pgg nell'arte neolitica: (a) cultura Jarmo, circa 5300 aC, (b) Catal Hüjük, intorno al 6380-5790 aC, (c) Djeblet el Beda, intorno al 6000 aC, (d) Tripolian cultura, URSS , intorno al 4000-3000 aC, (e) Siyalk, Iran, intorno al 4000 aC, (f), Susa e Butmir, intorno al 5000-4000 BCFigure 2,78
Al centro esempi di ornamenti con il gruppo di simmetria pgg nell'arte d'Egitto e le culture dell'Egeo.
A destra ornamenti con il gruppo di simmetria pgg: (a) Colombia, circa 800-1500, (b) arte pre-colombiana, Perù, (c) l'arte etnica dell'Oceania.

La tensione tra simmetria e asimmetria

Anche se esteticamente soddisfacenti da un punto di vista matematico, non è così chiaro se le rigide simmetrie delle piastrelle siano così gradevoli come altri motivi meno simmetrici.
Weyl accenna a questo, quando cita un articolo dello storico dell'arte, Dagobert Frey: (9)

Simmetria significa riposo e vincolo, asimmetria movimento e rilassamento, una ordine e diritto, l'altra
arbitrarietà ed incidente, una rigidità formale e vincolo, l'altra vita, gioco e libertà.

Che la simmetria pura sia in qualche modo troppo dura, troppo rigida e diversa dalla natura delle persone, è stato suggerito da Immanuel Kant, che ha commentato come:
Tutte le regolarità rigide (come le trame matematiche) sono intrinsecamente ripugnanti al gusto, in quanto la loro contemplazione non ci offre piaceri durevoli ... e ci stanca quasi subito.

Lo storico dell'arte, Ernst Gombrich era dello stesso parere, (10) vedendo la banalità all'interno della simmetria:
Una volta che abbiamo colto il principio di ordine, siamo in grado di imparare le cose a memoria. [...] Abbiamo facilmente visto abbastanza, perché non sorprende più,

in modo che, simmetria e asimmetria sono visti come,

una lotta tra due avversari di pari potenza, il caos informe, su cui abbiamo le nostre idee, e la forma
troppo monotona, che illuminiamo di nuovo  accenti.

Lo stesso conflitto è stata sottolineato anche dallo psicologo Rudolf Arnheim, (10)
Simmetria significa riposo e collegamento, asimmetria significa movimento e distacco. Ordine e legge da una parte, arbitrarietà e possibilità dall'altra, qui rigidità e costrizione, là vivacità, gioco e libertà . [...]
Ad un estremo ... la rigidità del blocco totale; all'altro ... la mancanza di forma altrettanto terrificante del caos. Da qualche parte nella scala, tra i due estremi, trova il suo posto particolare ogni stile, ogni individuo ed ogni opera d'arte .

Weyl ha riconosciuto questa tensione e ha scritto come 'L'Arte occidentale, come la vita stessa, è incline a mitigare, allentare, modificare, anche a rompere la simmetria rigorosa'.
Ciò sembra essere vero nel mondo sociale, biologico e fisico, dove nonostante un grande desiderio da parte degli scienziati di trovare simmetrie, il mondo sembra decisamente essere asimmetrico a tutti i livelli, nonostante i migliori sforzi per renderlo diverso. (11)

Tuttavia vi è un argomento per cui la simmetria costituisce la base su cui può essere costruita, manipolata ed usata l'asimmetria: 'Anche in un disegno asimmetrico si percepisce una simmetria come la norma da cui si devia sotto l'influenza di forze non formali', come dice Wyle. Anche il filosofo Theodor Adorno, ha visto in modo simile il rapporto tra simmetria e asimmetria, in una sorta di dialettica: 'In campo artistico, l'asimmetria può essere colta solo in relazione alla simmetria'. (10)
La simmetria è la base su cui l'asimmetria può essere costruita, proprio come la curve, le irregolarità e le forme organiche di un edificio di Gaudì si basano su una sottostante geometria delle strutture orizzontali e verticali.

Arnheim (12) ha anche sostenuto che sotto la dimensione cognitiva simmetrico-asimmetrica, vi è una scala che corrisponde a semplicità-complessità. Nei termini rigorosi della teoria dell'informazione questo è corretto, perché servono più dati (bit) per specificare un oggetto asimmetrico rispetto ad uno simmetrico.
Arnheim si spinge anche più avanti in termini cognitivi: 'il gusto per la simmetria è basato su una
propensione più elementare della mente rispetto al suo opposto
'. (12)
Incombe anche il suggerimento che l'arte si sviluppi, con la simmetria, come forma più primitiva, più semplice di dichiarazione o rappresentazione che si evolve, con tutte le (non biologiche) connotazioni del progresso, in asimmetria. Certo questo sembra essere implicito nelle distinzioni di Wolfflin tra la simmetria di Bisanzio e del primo Rinascimento, e l'asimmetria dell'alto Rinascimento e del Barocco, (13) ed è sicuramente anche una buona descrizione dell'evoluzione dell'arte greca, dalle forme quasi simmetriche dei kouroi della Grecia pre-classica, alle forme eleganti, fluide e realistiche dei secoli quarto e quinto a.C. (14)

Simmetria Asimmetria
riposo movimento
allacciamento allentamento
ordine arbitrarietà
legge caso
rigidità formale vita, gioco
costrizione
libertà
noia interesse
quiete caos
monotonia sorpresa
fissità distacco
stasi flusso
semplicità complessità
Tabella 1. Sintesi delle proprietà psicologiche ed estetiche di simmetria e asimmetria secondo gli storici dell'arte e filosofi.

 

La tabella 1 riassume le caratteristiche psicologiche ed estetiche di simmetria ed asimmetria. Dimostrarle è facile ed è stato fatto forse più semplicemente da Gombrich (15) utilizzando un volantino progettato per insegnare ai fotografi amatoriali la composizione. I due bozzetti in figura 1 (a) sono quelli stampati da Gombrich; come dice lui: 'una barca a vela fotografata nel centro apparirà in bonaccia, quella mostrata fuori centro sembrerà muoversi'. Egli quindi aggiunge: 'Ovviamente, questo vale con forza molto maggiore per le barche a vela rispetto, ad esempio, agli alberi, il che suggerisce che anche qui il significato ha una grande importanza per l’impressione risultante'.
Un problema potenziale con la dimostrazione di Gombrich è che le barche, nelle immagini originali, non sono del tutto identiche, le vele dell'immagine 'in movimento' (a destra) fluttuano di più rispetto all'immagine di 'bonaccia' (a sinistra). Le figure (b) e (c) mostrano le immagini originali manipolate in modo che lle barche siano identiche, ma l'effetto è ancora convincente.

Gombrich

Figura 1. (a) la dimostrazione di Gombrich che l'asimmetria si traduce in un senso di movimento. Poiché le barche nell'immagine originale (a) non sono identiche, le immagini in (b) e (c) sono state manipolate in modo che le barche siano identiche.

Il continuum della simmetria

Che ci sia anche un continuum tra pura simmetria e la sua totale assenza è mostrato da Gombrich in un altro esempio, l'immagine generata al computer "Schotter" (ghiaia) di Georg Nees, (16) vista in Figura 2.
Le simmetrie rigide dei quadrati originali sono lentamente perse perché, spostandosi verso il basso, la posizione e l'angolo dei quadrati si modifica progressivamente sempre più.
È particolarmente interessante che, anche se in un certo senso la quantità di simmetria diminuisce in maniera monotona passando dalla parte superiore a quella bassa, l'interesse dell'immagine aumenta.
Le simmetrie originali sono ancora distinguibili, ma si aprono nuove possibilità e relazioni. Qualcosa qui ricorda gli argomenti di Stuart Kauffman (17-18) il quale suggerisce che l'evoluzione della vita - l'evento statisticamente più improbabile - non potrebbe svilupparsi nel mondo rigido, congelato, ordinato dei cristalli di ghiaccio, né nell'esplosiva confusione Boltzmanniana di un gas ideale, ma forse dove il ghiaccio si sta sciogliendo in acqua, dove c'è fluidità e cambiamento, ma non si perde l'ordine originale. La vita si è evoluta, suggerisce, 'al margine del caos', ed è intrigante che questa zona sia anche la più interessante e piacevole.
L'indagine sul modo in cui gli artisti usano la simmetria e l'asimmetria richiede lo studio delle immagini che vengono utilizzate ripetutamente da molti artisti per un lungo periodo di tempo, in un contesto culturale che è relativamente noto. Il Rinascimento italiano è una di queste situazioni, con molti esempi disponibili e catalogati di immagini, tra cui la Crocifissione, l'Annunciazione, la Madonna col Bambino, o la Madonna con Santi.
Tali immagini consentono statistiche dettagliate da raccogliere ed analizzare come test di idee sulla natura della simmetria e dell'asimmetria.
Tuttavia, non tutti gli storici dell'arte ritengono che tali lavori siano utili, perché come il grande Bernard Berenson ha detto una volta:

Il valore della ricerca dipende dal campo in cui viene svolta. L'adepto più scarso può fare statistiche elaborate sul numero di volte, nell'arte del Medioevo, in cui nostro Signore benedice con tre dita, quante volte, con due e mezzo, e quante volte, con due sole, o la frequenza con cui Santa Caterina ha la sua ruota, o Sant'Andrea ha la sua croce, a destra o a sinistra. (19)

Nonostante i suoi dubbi circa l'impresa, i dati che seguono non avrebbero potuto essere analizzati se non fosse stato proprio per la raccolta di Berenson, dei suoi meravigliosi cataloghi, di dipinti italiani.

Georg Nees

Figura 2. Schotter (ghiaia). Immagine di Georg Nees generata al computer, 1968-1971. L'opera è conosciuta anche come Wurfel Unordnung (Disarray Cubic).

Simmetria e asimmetria nell'arte rinascimentale italiana
Polittici rinascimentali

Il polittico è stato un modulo standard del primo Rinascimento italiano. Uno dei primi pezzi di grande importanza è stato il Polittico Baroncelli del 1334, di Giotto e della sua scuola, nella chiesa di Santa Croce a Firenze (Figura 3). Il pannello centrale mostra l'incoronazione della Vergine; ci sono due pannelli a sinistra e a destra, ciascuno contenente raffigurazioni di santi e di angeli che suonano strumenti musicali.
I due pannelli di sinistra mostrano 51 santi e 10 angeli, come anche i  due di destra.
L'impressione prevalente è di simmetria.  Tuttavia un esame più approfondito mostra una curiosa deviazione: tutti i 51 santi e 10 angeli nel pannello di destra hanno il viso rivolto a sinistra di chi guarda, verso la Vergine che viene incoronata (quindi, stanno mostrando allo spettatore la loro guancia sinistra). Tuttavia, anche se 50 dei santi e tutti i 10 angeli dei pannelli di sinistra stanno guardando verso destra, anche loro verso la Vergine (quindi mostrando la loro guance destra, un santo solitario, nel pannello più interno, guarda a sinistra  (mostrando la guancia sinistra). L'apparente simmetria è rotta. Chiaramente questo non può essere attribuito al caso o a un errore. Giotto doveva sapere quello che stava facendo, e questo pone una domanda sul significato di fondo di questa scelta.

Giotto polittico Baroncelli

Giotto Baroncelli

Figura 3. Polittico Baroncelli, di Giotto e della sua scuola (1334). La parte inferiore mostra due ingrandimenti del pannello di sinistra.

I polittici sono comuni nell'arte italiana del Rinascimento. Gli otto volumi di Berenson (20-23) che descrivono i dipinti di questo periodo contengono 605 esemplari (per ulteriori dettagli e statistiche su questa e altre foto, vedi McManus (24)). La maggior parte dei polittici sono più semplici rispetto al Polittico Baroncelli, di solito con due o quattro santi disposti su entrambi i lati dell'immagine centrale. La rottura della simmetria è relativamente comune in questi dipinti, si trova in 181 dei 605 casi (29,9%). Più intrigante: in 105 di questi (58,0%), la sostituzione è della parte sinistra del viso per la destra, con solo 76 casi (42,0%), dove avviene l'inverso, la differenza è significativamente diversa dall'aspettativa statistica. Quindi, non solo sono frequenti le asimmetrie, ma sono più propense a mostrare la guancia sinistra che la destra, le asimmetrie stesse sono asimmetriche.


Il significato della parte destra e sinistra del viso

Gli 'errori' nei polittici coinvolgono prevalentemente la sostituzione di una guancia sinistra per una guancia destra. L'implicazione deve essere, pertanto, che le guance destra e sinistra in qualche modo si differenzino per il loro significato simbolico, per quale altro motivo un'asimmetria direzionale dovrebbe ignorare la struttura simmetrica prevalente di questa immagine? Comprendere il significato simbolico dei lati del viso richiede quindi un'analisi più dettagliata delle guance destra e sinistra in una serie di dipinti.

Ritratti

Il mio primo coinvolgimento in questo problema è stato attraverso l'osservazione della possibilità che i ritratti dipinti mostrano più facilmente la guancia sinistra rispetto alla destra. E' anche di particolare interesse  che i ritratti di donne hanno maggiori probabilità di mostrare la guancia sinistra di quelli che rappresentano uomini: (25) il 68% di 551 ritratti femminili hanno mostrato la guancia sinistra, come il 56% di 932 ritratti maschili. Le proporzioni in ogni caso erano altamente e significativamente diverse dal 50%, dato che da allora è stato confermato in altri studi. (26-28)
L'eccesso di guance sinistre è improbabile derivi dalla preponderanza degli artisti destri in quanto l'eccesso stesso è stato segnalato nelle fotografie. (29)
Poco dopo aver pubblicato i nostri dati, il professor Walter Landauer ha scritto dicendo di aver esaminato 302 autoritratti, in un libro dedicato a questo argomento, e solo il 39% mostrava la guancia sinistra, quindi con un eccesso significativo di guance destre.


destra sinistra

Figura 4. L'uso delle guance destra e sinistra nei ritratti di Rembrandt. Ritratti maschili e femminili sono suddivisi a seconda che i soggetti siano parenti di Rembrandt o no. (30)

Una volta che ci siamo interessati agli autoritratti, era evidente che l'artista da esaminare era Rembrandt:  questa ricerca ha confermato che solo il 16% dei suoi 57 autoritratti mostra la guancia sinistra. Anche se si possono azzardare  ipotesi complesse intorno alla preponderanza destra degli artisti, alla relativa facilità di disegnare profili sinistri piuttosto che destri con la mano destra, la possibilità che l'auto-ritratto fosse dipinto con l'ausilio di uno specchio (Rembrandt certamente aveva specchi nel suo studio (30)) e il ruolo del personaggio del ritratto, (28-31) ci siamo ben presto interessati ad un ipotesi più sottile, cioè che destra e sinistra avessero un significato simbolico, piuttosto che essere semplici manufatti di manualità o tendenza.
Il risultato chiave è venuto quando abbiamo esaminato il resto dei ritratti di Rembrandt sia riguardo al sesso che al rapporto del personaggio ritratto con Rembrandt. (32)
I ritratti di parenti erano più propensi a mostrare la guancia destra rispetto a quelli dei non-parenti, fossero essi maschi o femmine (vedi figura 4). Tali effetti non potevano essere spiegati da fattori meccanici, né lo potrebbero altri dati che dimostrano che Van Gogh dipingesse più frequentemente le guance sinistra per i soggetti appartenenti alla classe media rispetto ai contadini. (32)

L'ipotesi che abbiamo creato è che destra e sinistra rappresentavano un continuum, con la guancia destra che rappresenta il 'come me' (e quindi autoritratti particolarmente adatti a questa categoria), e la guancia sinistra che rappresenta 'al contrario di me' cioè le donne (e, quindi, i non parenti).
Naturalmente molte altre caratteristiche compositive accidentali potrebbero anche determinare la posizione mostrata in un particolare ritratto, ma il quadro generale non può essere spiegato diversamente. Il prossimo passo quindi è stato quello di esplorare l'ipotesi ulteriormente studiando l'argomento più strettamente vincolato al Rinascimento italiano, dove c'erano un gran numero di immagini che potevano essere analizzate.

La crocifissione
La crocifissione di Cristo è un soggetto molto comune nel Rinascimento italiano e ancora oggi quasi non vi è una chiesa che non abbia tale immagine. Curiosamente, dei 147 esempi tratti dai volumi di Berenson, il 99,3% mostra Cristo con la guancia sinistra, l'unica eccezione viene dipinta da Tiziano, quando era vecchio. Ci sono anche una serie di altre asimmetrie associate con la crocifissione, molte di valore simbolico o altro, come la ferita di lancia, sulla destra di Cristo, e la tradizione che ci fossero un  ladrone buono e uno cattivo, con il buon ladrone alla destra di Cristo e il cattivo alla sua sinistra.

L'Annunciazione
Nell'Annunciazione abbiamo una situazione più complessa: l'angelo Gabriele informa la Vergine Maria che sarà la madre di Cristo. Questa situazione è complicata perché ci sono ora due attori principali della scena, ognuno importante. I dati dei volumi di Berenson sono abbastanza chiari: di 209 Annunciazioni, l'angelo entra dalla sinistra in 96,7% dei casi e, quindi, l'angelo mostra la guancia destra e Maria mostra la guancia sinistra. I vincoli compositivi dicono che è quasi impossibile creare una composizione soddisfacente in cui entrambi gli attori mostrino la loro guancia sinistra. C'è anche un ulteriore vincolo qui, come si può vedere in figura 5, in cui viene mostrata l'Annunciazione del Veneziano correttamente e invertita (destra-sinistra). L'annuncio riguarda un messaggio che viene trasmesso da una persona all'altra, e c'è una forte tendenza, nell'arte occidentale, almeno, di leggere tali messaggi da sinistra a destra. La versione invertita nella parte bassa della Figura 5 ci appare sbagliata, anche se in parte può essere correlata alla familiarità (vedi Blount et al.33). Ciò che è senza dubbio chiaro è che l'Annunciazione mostra una forte asimmetria, con gli artisti che scelgono di rompere la simmetria in un modo molto coerente.
Domenico Veneziano

Figura 5. L'Annunciazione di Domenico Veneziano (ca. 1442-1448), (Fitzwilliam Museum, Cambridge). Il pannello superiore mostra l'originale, il pannello inferiore mostra l'immagine invertita sinistra/destra.

La Madonna col Bambino

La Madonna col Bambino è un'altra immagine complessa, e come con l'Annunciazione, due figure principali, la Madonna e il Bambino appena nato, dominano la composizione (anche se a volte ci sono anche altre figure).

La Madonna col Bambino è una delle immagini più comuni nei volumi di Berenson (913 (16,8%) delle 5432 immagini). Tali numeri forniscono un'opportunità senza precedenti per una dettagliata analisi statistica e, in particolare, la consistenza dei motivi può essere valutata attraverso le diverse scuole d'arte italiane e nel tempo. Precedenti analisi della Madonna col Bambino si erano concentrate sul lato su cui Maria tiene il Bambino. Salk (34) ha scoperto che nell'80% dei casi il bambino viene tenuto sul lato sinistro, una caratteristica che egli postula sia legata alla naturale tendenza delle madri a tenere i bambini sul lato sinistro, che egli suggerisce è vicino al cuore, rassicurando il bambino. Questa spiegazione è ora considerata controversa, (35) e non particolarmente rilevante per gli scopi attuali.

Ritratti rinascimentali

Figura 6. La percentuale di rappresentazioni della Madonna con Bambino (tenuto sul lato sinistro della Madonna), in base alla data e alla scuola. I simboli a sinistra nella legenda (pieni) sono significativamente diversi dal 50%, mentre quelli a destra (vuoti) non sono significativamente diversi dal 50%.

Ciò che è interessante è che Salk ha ottenuto i suoi dati da un libro intitolato Il Cristo-Bambino in immagini devozionali in Italia durante il XIV secolo. (36)
Tuttavia, come chiarisce la figura 6, anche se durante il quattordicesimo secolo una maggioranza di Madonne portava il bambino sul lato sinistro, la figura che prima si avvicina al 100%, entro la seconda metà del XV secolo scende al di sotto del 50%.
Il modello in tutte le quattro principali scuole d'arte italiana è molto coerente. Qualche spiegazione per questi cambiamenti è necessaria, considerando improbabile che provengano da cambiamenti reali nel modo in cui le donne tenevano bambini. Quindi va cercata un'altra spiegazione simbolica, compositiva o storico-artistica.
Anche se l'analisi Salk ha considerato solo il lato in cui è tenuto il bambino, è anche vero che la Madonna col Bambino di ogni genere mostrano un particolare lato del volto.
Agli inizi del Rinascimento la composizione è abbastanza stereotipata ed è indicata come uno schema in Figura 7: il bambino viene tenuto sul lato sinistro della Madonna, la Madonna guarda il bambino, e quindi quasi sempre mostra la sua guancia destra, e il bambino di solito guarda la Madonna e quindi tende a mostrare la sua guancia sinistra. La figura 8 mostra le proporzioni reali delle guance destra e sinistra, per la Madonna, il Bambino e i due messi insieme. Ancora una volta ci sono evidenti cambiamenti storici, ma questi sono più marcati per la Madonna, che all'inizio del Rinascimento quasi sempre mostra la sua guancia destra mentre verso la fine è raffigurata maggiormente con la guancia sinistra.

Madonna col bambino

Figura 7. Una rappresentazione schematica delle rappresentazioni più frequenti della Madonna col Bambino, all'inizio del Rinascimento (in alto) e alla fine del Rinascimento (in basso).

I dati in figura 8 mostrano un problema importante. La Madonna ha spostato il bambino dalla sua sinistra alla destra e, com'è naturale per una madre, dovrebbe guardare il suo bambino, quindi mostrare la guancia sinistra piuttosto che la destra.

Madonna col bambino

Figura 8. La percentuale di rappresentazioni della Madonna col Bambino in cui la Madonna, il Bambino e la Madonna col Bambino combinati mostrano la guancia sinistra.

Tuttavia, il Bambino, che nel primo Rinascimento tende a restituire lo sguardo della madre, mostrando la guancia sinistra, continua a mostrare la sua guancia sinistra, e sembra quindi lontano dalla madre, conferendo a queste immagini un aspetto imbarazzante. La soluzione compositiva, spesso si trova alla fine del Rinascimento, era di avere la Madonna e il Bambino che guardavano un'altra figura, magari un Santo in buona posizione. In alternativa il bambino teneva un oggetto verso il quale indirizzare lo sguardo: un cardellino, un libro o una rosa. Anche se questi dispositivi risolvevano i problemi compositivi, non spiegano il problema.
La risposta potrebbe risiedere nel cambiamento di status della Vergine Maria.

Il culto della Vergine Maria

Lo stato della Vergine Maria nella teologia cattolica è complessa, qui possiamo solo accennarlo, ma è discusso in dettaglio altrove. (37-41)
La cosa importante per comprendere i cambiamenti nella rappresentazione pittorica della Madonna con il Bambino è il fenomeno noto come il culto della Vergine Maria. Per il cattolicesimo è fondamentale la dottrina del peccato originale, comune tutti gli individui fin dal concepimento. Per cominciare, l'unica eccezione a questa dottrina fu Cristo stesso, in quanto venne concepito non da un uomo, ma dello Spirito Santo. In particolare, come è stato sottolineato da sant'Agostino (AD 354-430), la Vergine Maria non è stata un'eccezione alla regola del peccato originale. Nel corso dei secoli VI e VII , le chiese occidentali e orientali di Roma e Costantinopoli si divisero, e circa dal 700 dC, la Chiesa d'Oriente ha iniziato a celebrare una festa della concezione della Vergine Maria. Va sottolineato, tuttavia, che questa festa non ha suggerito che Maria era immacolata, quindi poteva essere ancora considerata soggetta alla dottrina del peccato originale. Nell'XI secolo, i Normanni erano in Sicilia, dove vivevano anche un gran numero di greci che celebravano i riti della Chiesa d'Oriente. Con l'invasione dell'Inghilterra da parte dei Normanni la festività, della Chiesa Orientale, della concezione della Vergine Maria si diffuse dalla Sicilia all'Inghilterra e da lì in Francia, Germania e infine in Italia. Qui causò molto imbarazzo, in quanto dopo un po' mutò diventando la festa dell'Immacolata Concezione di Maria, un'idea fortemente contraria alla dottrina della chiesa. La festività sviluppò uno slancio populista, e nonostante i tentativi da parte di San Bernardo (circa 1140) per neutralizzarlo dichiarando che la Vergine Maria era una Santa, il movimento non poteva essere fermato, nonostante gli sforzi della chiesa del XIII secolo, tra cui quello di San Tommaso d'Aquino. Il movimento continuò negli anni successivi, e altri tentativi, come ad esempio suggerire che Maria fu purificata del peccato originale nel corso della sua vita intrauterina, non furono sufficienti per arrestarlo.
Dopo un po' venne sostenuto anche da studiosi come Duns Scoto (AD 1265-1308). La convinzione è stata poi ripresa dai francescani, dopo di che era solo questione di tempo prima che il dogma dell'Immacolata Concezione venisse accettato dalla chiesa ufficiale, ma solo nel 1854.

Ratio

Figura 9. Il rapporto tra rappresentazioni della Madonna col Bambino e quelli della Crocifissione nel periodo medievale e nel Rinascimento italiano. I dati per il Rinascimento sono tratti dagli otto volumi di Berenson, e per il periodo medievale dalle collezioni pubblicate dal British Victoria and Albert Museum, e da tre altri principali lavori di riferimento. (53-55)

L'effetto del culto della Vergine Maria sulla pittura può facilmente essere visto in Figura 9, che mostra una percentuale in rapida crescita dei dipinti della Madonna con Bambino rispetto a quelli delle Crocifissioni.
La sfida è quindi quella di verificare se il culto della Vergine Maria, chiaramente sviluppato per tutto il Rinascimento, può anche spiegare il cambiamento della rappresentazione della Madonna col Bambino e, in particolare, il passaggio del bambino da sinistra a destra.
All'inizio del Rinascimento, le due figure della Madonna e Gesù Bambino erano considerate diversamente: Maria era una comune mortale, soggetta al peccato originale, mentre Cristo era stato concepito immacolato in quanto Figlio di Dio. E' quindi chiaro che il Cristo bambino era la figura più importante, e siccome lui è molto diverso dall'artista è, come Cristo nella Crocifissione, ritratto mostrando la sua guancia sinistra. Dal momento che ha senso per Maria guardare il bambino, e per il bambino guardare a Maria, il bambino è quindi tenuto sul lato sinistro di Maria, e Maria, che è di minore importanza di Cristo mostra la guancia destra. Tuttavia, con il progredire del Rinascimento, Maria è percepita, per acclamazione popolare, come concepita immacolata, così assume uno status equivalente a quello di Gesù Bambino. L'esigenza immediata è che, dato che né Maria né il bambino sono come l'artista, allora entrambi dovrebbero mostrare la loro guancia sinistra. Tuttavia, se il bambino fosse rimasto alla sinistra di Maria, lei avrebbe distolto lo sguardo dal bambino, con poco senso pittorico. La soluzione, come abbiamo visto, è stata quella di spostare il bambino alla destra di Maria, introducendo il nuovo problema del Bambino che distoglie lo sguardo da sua madre. L'introduzione di qualche altro personaggio in primo piano a sinistra, un santo o un donatore, oppure di un oggetto fisico, risolse allora il problema, realizzando la definitiva composizione standard della Madonna col Bambino, alla fine del Rinascimento.

Sperimentare con le guance destra e sinistra

Le analisi in questo lavoro fino ad ora sono state interamente descrittive. Tuttavia, in linea di principio dovrebbe essere possibile effettuare l'analisi sperimentale del significato delle immagini che mostrano la guancia destra o la sinistra. Molti anni fa ho realizzato due esperimenti, che non sono mai stati pubblicati (Rif. 24, cap. 14). La progettazione di ogni studio è stata simile. I soggetti hanno visto una serie di diapositive di ritratti, che sono state proiettate invertite (in modo che i dipinti che mostravano la guancia sinistra ora mostravano la destra, e viceversa). I soggetti hanno votato la loro percezione delle immagini utilizzando una tecnica differenziale semantica, in cui vi erano 20 coppie di aggettivi, come buono-cattivo, forte-debole, fisico o spirituale. Come è comune in tali studi, tre fattori erano alla base delle 20 definizioni: Valutazione, Dinamismo, e Spiritualità.

Dal momento che alcuni soggetti intervistati hanno visto una foto che mostrava la guancia sinistra, mentre altri hanno visto la stessa immagine che mostrava la guancia destra, è possibile confrontare i giudizi, per vedere se le differenze hanno significati diversi per un visualizzatore tipico (i soggetti intervistati erano studenti che non stavano studiando storia dell'arte). I risultati sono stati estremamente semplici: anche se vi erano chiare differenze di percezione tra i diversi ritratti (alcuni a seconda dell'inclinazione (42) o della posizione della testa (43)), i giudizi hanno mostrato alcune differenze a seconda che, nella versione vista dai soggetti, il ritratto mostrasse la parte destra o sinistra del viso..
A prima vista sembra che il risultato metta in dubbio la teoria che la guancia destra rappresenti il 'come me' e la sinistra 'al contrario di me'. Nondimeno, l'analisi ha mostrato un ulteriore risultato molto più intrigante.
Benchè i soggetti hanno riportato alcune differenze nella percezione di ritratti, quando l'analisi è stata ripetuta mostrando l'immagine originale che l'artista aveva ritratto, quelli che mostravano la guancia destra sono stati considerati più positivi e più dinamici. In altre parole, anche se gli spettatori non potevano attribuire una differenza di significato alle due versioni della stessa immagine, gli artisti avevano utilizzato le guance destra e sinistra in modo diverso. Chiaramente questo test deve essere ripetuto (i risultati di Schirillo (44) sono una replica parziale), ma i risultati suggeriscono che le guance possono avere significati diversi, per lo meno per gli stessi artisti.

L'origine del significato di sinistra e di destra

Se la teoria del 'come me' e 'al contrario di me' è corretta (e anche se non lo è, allora i grandi cambiamenti nell'uso di sinistra e destra nei dipinti hanno ancora bisogno di essere spiegati), ci rimane ancora una questione particolarmente difficile: perché è la guancia sinistra che è associata con la 'al contrario di me' e la guancia destra è associata al 'come me' '.
Sinistra e destra hanno significati simbolici in molte società, (45) le cosidette classificazioni simbolico duali. Anche nella Grecia classica, le sorgenti della filosofia razionale, del pensiero filosofico e scientifico utilizzano i simbolismi destra-sinistra. (46-47)
Pitagora ha detto che si dovrebbe entrare in un luogo sacro da destra, che è l'origine dei numeri pari, e uscire dalla sinistra, che è l'origine dei numeri dispari. Nella Metafisica, Aristotele descrive come i Pitagorici individuino dieci principi primi, elencati nella tabella 2, che comprendono destra e sinistra e che hanno anche significati diversi in molte altre culture.

Limitato Illimitato
dispari pari
uno pluralità
Destra Sinistra
maschio femmina
riposo movimento
costrizione
libertà
dritto storto
luce oscurità
dio diavolo
quadrato oblungo

Tabella 2. I dieci principi pitagorici descritti da Aristotele.

Per esempio, Needham (48-49) ha analizzato i significati dei simbolismi destra-sinistra dei Purum, (50) una tribù che vive sul confine indo-birmano, e ne ha trovato una miriade che sono riassunti nella tabella 3, e mostrano una somiglianza impressionante con il simbolismo pitagorico.
Le chiese occidentali sono anche una fonte ricca di simbolismi, che Sattler (51) ha riassunto nello schema illustrato nella figura 10.

Destra Sinistra Destra Sinistra
maschio femmina parenti affini
maschile femminile privato pubblico
luna sole superiore inferiore
cielo terra sopra sotto
est ovest favorevole sfavorevole
vita morte sud nord
buona morte cattiva morte sacro profano
dispari pari astinenza sessuale attività sessuale
famiglia stranieri villaggio foresta
mogli offerte mogli richieste prosperità carestia
dei, spiriti ancestrali mortali spiriti benefici diavoli, fantasmi
dietro davanti    

Tabella 3. La classificazione doppia simbolica dei Purum in relazione a destra e sinistra.

Il primo antropologo a pensare seriamente al significato di sinistra e destra è stato Robert Hertz, (52) che nel 1909 ha pubblicato una monografia su questo simbolismo studiato in diverse società geograficamente e culturalmente diverse.

simbologia chiesa destra sinistra

Figura 10. Il significato simbolico dei lati destro e sinistro di una Chiesa cristiana. Sulla base dello studio di Sattler. (51)

Il precedente lavoro di Hertz aveva studiato in modo simile le pratiche funerarie ed era rimasto colpito dalla grande varietà di modi diversi in cui gli esseri umani dispongono i loro morti. E' quindi ancor più valida la sua conclusione sul significato universale che le società attribuiscono a destra e a sinistra, ovunque, in tutte le società, la destra è percepita come bene e la sinistra come male. Come egli stesso afferma nella sua introduzione quasi poetica:

Alla destra vanno gli onori, le designazioni lusinghiere, prerogative: agisce, ordina e prende. La sinistra, al contrario, è disprezzata e ridotta al ruolo di un ausiliario umile: di per sé non può fare nulla, ma aiuta, sostiene. (52)

Hertz comprendeva la biologia e si rese conto che il simbolismo universale di destra e di sinistra deve inevitabilmente legarsi con la predominanza universale dei destri sui mancini  (non c'è nessuna società nota in cui la maggioranza delle persone siano mancine). (11)
Come dice Hertz , 'Dobbiamo quindi cercare nella struttura dell'organismo la linea di demarcazione che dirige il flusso benefico di favori soprannaturali verso il lato destro', in altre parole dalla loro destrosità o mancinismo, e conseguentemente dall'asimmetria del loro cervello.
Perché gli esseri umani siano in maggioranza destri è un'altra storia, non da analizzare qui. Ciò che conta ai fini di questa ricerca è che i simbolismi destra-sinistra non sono arbitrari, ma sono costretti dalla biologia, e da una biologia che si estende indietro non solo ad asimmetrie di comportamento, ma ad asimmetrie del cervello, di asimmetrie di organi (come il cuore), ed asimmetrie delle sostanze chimiche su cui è costruita la vita, come amino-acidi e zuccheri. (11)

Conclusioni

La simmetria per la scienza è un meraviglioso concetto  teorico, che fornisce struttura, organizzazione e semplificazione per una serie di complessi fenomeni, apparentemente non collegati, di molte discipline. Tuttavia, anche se la simmetria è seducente come concetto, ci sono molte prove che non solo l'asimmetria si trova nel mondo subatomico della fisica, e in tutto il mondo biologico a tutti i livelli, dalla biochimica ai cervelli, ma che l'asimmetria è anche sfruttata e sviluppata nelle arti pure. La simmetria, anche se matematicamente affascinante, ha anche una freddezza, una rigidità, una fissità, un senso di stasi, che è meno interessante, meno attraente, anzi meno bella dell'asimmetria. Troppa asimmetria, però, è solo caos.
La struttura di base di buona parte dell'arte, proprio come in biologia, è la simmetria, cui si aggiunge un po' di asimmetria per generare interesse ed entusiasmo.
Un po' di asimmetria, utilizzata correttamente, rende gli oggetti soddisfacenti in modo ottimale.
Quando gli artisti usano l'asimmetria devono anche fare delle scelte, poichè la simmetria può essere rotta in modi diversi. Anche la simmetria sinistra-destra si può spezzare in due modi, a sinistra o a destra, una scoperta intrigante è che ci sono continuità storiche consolidate nei modi in cui gli artisti scelgono di utilizzare la sinistra o la destra.
Il Rinascimento italiano, con il suo gran numero di immagini raffiguranti lo stesso soggetto, nel contesto di una teologia ben nota, fornisce una buona situazione per lo studio di questo problema. Le origini dei significati simbolici relativi a destra e sinistra non sono del tutto chiari, ma probabilmente hanno una componente umana universale, guidata dal predominio dei destri, che a sua volta è guidato dalle asimmetrie cerebrali, dalle asimmetrie del corpo e da quelle chimiche. Tuttavia, senza una comprensione profonda delle strutture matematiche della simmetria non saremmo in grado di renderci conto di quanta asimmetria viene generata. Simmetria e asimmetria sono quindi una dialettica essenziale sia per la scienza che per l'estetica.

Riconoscimenti
Sono grato al Professor Onur Gunturkun per l'assistenza nella preparazione di questo documento.

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